«Tenía algunas canicas, regalé siete y me quedaron quince. ¿Cuántas tenía al principio?». Un niño puede escribir 15 − 7 porque ve «regalé» y piensa en restar. El problema inverso ayuda a recuperar la historia: «Si empiezo con veintidós y regalo siete, ¿cuántas quedan?». Como 22 − 7 = 15, la cantidad inicial era 22. Construir la historia de ida y vuelta permite entender por qué aquí se suma 15 + 7.
La guía del Institute of Education Sciences (IES) sobre resolución de problemas recomienda representar relaciones y revisar estrategias. La guía del IES de apoyo matemático en Primaria destaca las representaciones y el lenguaje matemático preciso. Inventar un problema inverso no es cambiar números al azar; es mantener las mismas cantidades y relaciones mientras se modifica cuál de ellas se pregunta.
Identificar el estado inicial, el cambio y el final
En la historia hay tres posiciones: cantidad inicial desconocida, siete canicas regaladas y quince canicas finales. Dibuja tres cajas con flechas: «inicio → regalo 7 → final 15». Si el niño sabe que quitar siete de una cantidad produjo quince, puede pensar qué número se recupera al devolver las siete. Quince más siete son veintidós.
La operación inversa se entiende mejor al nombrar qué deshace. Sumar siete al final deshace el regalo de siete. No significa que cada problema con «regalar» se resuelva sumando. Si la pregunta fuera cuántas quedaron después de empezar con 22, se restaría. La palabra del relato no fija la operación por sí sola; la posición de lo desconocido sí importa.
Inicio ? → regalo 7 → final 15.
15 + 7 = 22 canicas iniciales.
22 − 7 = 15 canicas finales.
Escribir una pregunta inversa que realmente compruebe
Un alumno puede escribir «Si tenía quince canicas y regaló siete, ¿cuántas quedan?». La cuenta 15 − 7 = 8 es correcta para esa nueva historia, pero no comprueba la original: ha cambiado el papel de quince, de cantidad final a inicial. Para construir el inverso, fija las tres etiquetas. El nuevo enunciado debe decir «Tenía veintidós, regaló siete y…», dejando el final como pregunta.
Pide al niño leer ambas historias en voz alta. ¿La cantidad siete representa siempre las canicas que se regalan? ¿El quince representa siempre el estado final? Si alguna cifra cambia de función sin explicación, no tenemos un inverso de la misma situación. Esta comparación es especialmente valiosa cuando varias cuentas con los mismos números parecen posibles.
El IES recomienda trabajar problemas verbales de forma deliberada. Una recta numérica puede mostrar la ida desde 22 hacia 15 con un salto de siete y la vuelta desde 15 a 22 con otro salto de siete en dirección contraria. El dibujo no debe hacer creer que el tiempo real se invierte; solo usamos una operación para recuperar una cantidad desconocida.
Aplicar el método a multiplicación y división
«Hay cuatro cajas con la misma cantidad de lápices; entre todas suman 28. ¿Cuántos hay en cada caja?». Dividir 28 entre cuatro da siete. El problema de comprobación sería «Hay cuatro cajas con siete lápices cada una; ¿cuántos hay en total?». Multiplicar 4 × 7 devuelve 28. La operación inversa permite verificar el reparto.
Si la historia no habla de grupos iguales, la multiplicación no sirve. «Cuatro cajas contienen en total 28 lápices» no garantiza que cada una tenga siete. Hace falta la condición «la misma cantidad». La inversión no puede reparar un dato ausente. Antes de usarla, conserva todas las relaciones declaradas.
Con fracciones ocurre algo parecido. Si la mitad de un depósito son 12 litros, el total son 24 litros. El problema inverso pregunta «¿Cuál es la mitad de 24?» y devuelve 12. No confundas «mitad del total» con «restan doce»: cada operación inversa depende de la estructura original.
Usar el inverso para detectar errores, no solo para celebrarlos
Si un niño responde 8 a la historia de las canicas, prueba 8 − 7: queda una, no quince. La comprobación muestra que ocho no puede ser el inicio. No digas simplemente «haz la prueba»; explica qué se está probando. En este caso, simular el regalo desde la cantidad propuesta. Cuando el resultado no coincide con el final conocido, se revisa la operación inicial.
La guía del IES sobre resolución de problemas pide reflexionar sobre la solución dentro de la situación. Una igualdad como 15 + 7 = 22 puede verificarse aritméticamente, pero la historia inversa verifica además que las cifras tienen el papel correcto. Es una comprobación más rica que mirar una calculadora y aceptar el número.
Una práctica de ida y vuelta
Inventa un problema con tres cantidades: inicial, cambio y final. Deja una desconocida y resuélvela. Después escribe otro enunciado que use las mismas cantidades en los mismos papeles, pero pregunte por una diferente. Resuelve y comprueba que vuelve al dato conocido. Si tu segundo problema produce otra historia, señala qué papel cambió. Esa revisión hará que las operaciones inversas sean relaciones comprendidas, no parejas memorizadas.
