Un vector que va del punto A(1,2) al B(4,3) avanza tres unidades a la derecha y una hacia arriba: sus coordenadas son (3,1). El vector que va de B a A tiene coordenadas (−3,−1). Los dos segmentos ocupan el mismo lugar, pero cambia el sentido. Distinguir origen, extremo y desplazamiento evita confundir puntos con vectores.
De una flecha a dos números
Para obtener el vector AB, resta coordenadas de B menos las de A: (4−1, 3−2) = (3,1). Dibuja la flecha en una cuadrícula y comprueba que el movimiento coincide. Un vector con esas coordenadas puede trasladarse a otro origen sin cambiar sus componentes: describe un desplazamiento, no una posición fija. El punto B(4,3), en cambio, sí nombra un lugar respecto de los ejes elegidos.
El currículo estatal de Matemáticas I incluye operaciones con vectores y modelización de posiciones y movimientos en el plano. La extensión de geometría analítica depende de la programación territorial y del centro; empieza por la representación que usa la clase.
Tres unidades a la derecha.
Una unidad hacia arriba.
Magnitud √10, dirección de la flecha.
Sumar desplazamientos
Si un objeto se mueve (3,1) y luego (−1,2), el desplazamiento total es (2,3). Puedes unir flechas punta con cola y verificar con coordenadas. La suma no indica necesariamente la distancia recorrida: la longitud de la ruta en dos tramos es √10 + √5, mientras que la magnitud del desplazamiento neto es √13. Esta diferencia aparece en problemas de trayectorias y en Física.
El producto por un número cambia la magnitud y, si el escalar es negativo, invierte el sentido. Multiplicar (3,1) por 2 da (6,2); por −1 da (−3,−1). No memorices esto solo como «multiplicar cada coordenada»: el dibujo muestra qué le ocurre a la flecha.
Dirección, sentido y módulo
En lenguaje escolar, «dirección» alude a la línea u orientación y «sentido» a hacia dónde apunta la flecha sobre ella. El módulo es su longitud. Dos vectores pueden tener la misma dirección y sentido, pero distinto módulo; también pueden compartir módulo y dirección con sentido contrario. Dibuja ejemplos antes de reducirlo a una lista de definiciones.
Si el problema tiene unidades, consérvalas. Un vector posición medido en metros y uno velocidad medido en m/s no se suman sin más por tener dos componentes. El contexto determina qué representan las coordenadas.
Una comprobación con puntos finales
Si empezamos en A(1,2) y sumamos el vector (3,1), llegamos a (4,3), el punto B original. Si sumamos por error (1,3), terminamos en (2,5); el dibujo revela que intercambiamos los desplazamientos horizontal y vertical. Esta prueba sirve también para restar vectores: desde B, añadir (−3,−1) devuelve A. En problemas con rutas, escribe por separado punto inicial y desplazamiento para no tratar una coordenada absoluta como si fuera una flecha. La misma pareja de números puede aparecer en ambos papeles, pero su interpretación depende de la pregunta.
Cuadernos relacionados
El libro de Matemáticas I enlazado debajo permite buscar vectores y geometría en el plano. Mira la muestra interior y selecciona primero ejercicios que combinen dibujo y coordenadas; después pasa a operaciones y problemas. Una hoja de fórmulas ayuda a recordar el módulo, pero no reemplaza distinguir recorrido y desplazamiento.
Preguntas frecuentes
¿AB y BA son el mismo vector?
No. Tienen componentes opuestas. Su módulo sí coincide.
¿Se pueden sumar puntos como vectores?
En un sistema de coordenadas se pueden operar pares numéricos, pero hay que aclarar si representan posiciones o desplazamientos para interpretar el resultado.
